Ver as diferentes formas como diversos povos desenvolveram a Matemática nos mostra como podemos deparar com soluções muito originais e nas quais, talvez, nunca pensaríamos em praticar.
Com a sistematização da Teoria dos Números, hoje temos teoremas que unificam a demonstração de todo esse saber em torno de conceitos como base, fatoração, propriedades operatórias da soma e da multiplicação etc, que tornam acessível a todos alguns dos métodos a serem descritos a seguir.
Com a sistematização da Teoria dos Números, hoje temos teoremas que unificam a demonstração de todo esse saber em torno de conceitos como base, fatoração, propriedades operatórias da soma e da multiplicação etc, que tornam acessível a todos alguns dos métodos a serem descritos a seguir.
Multiplicação egípcia.
Este método guarda em seu cerne o sistema binário. Vamos apresentá-lo através de exemplo.Vamos calcular 23 x 45.
Escrevamos 23 como uma soma de potências de 2: 23 = 1 + 2 + 4 + 16.
Associe ao número 1 à potência 45 e monte uma tabela iniciando com seguinte coluna e com potências de 2 na primeira linha:
1 2 4 8 16
45
Agora dobre os valores em baixo:
1 2 4 8 16
45 90 180 360 720
Agora some os valores da segunda coluna que corresponde às parcelas da decomposição do 23:
(23 = 16 + 4 + 2 +1
16 => 720; 4=> 180; 2 => 90; 1 => 45)
45 + 90 + 180 + 720 = 1035.
Outro exemplo: 19 x 67
Decomponha 19 em potências de 2: 19 = 16 + 2 + 1
Faça a tabela com potências de 2 na primeira linha e 67 abaixo de 1:
1 2 4 8 16
67
Agora dobre os valores da segunda linha:
1 2 4 8 16
67 134 268 536 1072
Some os valores da segunda linha correspondentes as parcelas que compõe 19:
(19 = 16 + 2 + 1;
16 => 1072; 2 => 134; 1 => 67)
1072 + 134 + 67 = 1273
Logo, 19 x 67 = 1273
O que assegura a eficácia do método? Simplesmente a distributividade e a decomposição de um dos fatores em potências de 2, que garante apenas multiplicações por 2, o que é simples.
Veja: 23 = 1 + 2 + 4 + 8 +16. Logo, 23 x 45 = (1 + 2 + 4 + 16) x 45 = 1 x 45 + 2 x 45 + 4 x 45 + 16 x 45 =
= 45 + 90 + 180 + 720 = 1035.
No outro exemplo, 19 = 16 + 2 + 1. Logo, 19 x 67 = (16 + 2 + 1) x 67 = 16 x 67 + 2 x 67 + 1 x 67 =
= 1072 + 134 + 67 = 1273
Escrevamos 23 como uma soma de potências de 2: 23 = 1 + 2 + 4 + 16.
Associe ao número 1 à potência 45 e monte uma tabela iniciando com seguinte coluna e com potências de 2 na primeira linha:
1 2 4 8 16
45
Agora dobre os valores em baixo:
1 2 4 8 16
45 90 180 360 720
Agora some os valores da segunda coluna que corresponde às parcelas da decomposição do 23:
(23 = 16 + 4 + 2 +1
16 => 720; 4=> 180; 2 => 90; 1 => 45)
45 + 90 + 180 + 720 = 1035.
Outro exemplo: 19 x 67
Decomponha 19 em potências de 2: 19 = 16 + 2 + 1
Faça a tabela com potências de 2 na primeira linha e 67 abaixo de 1:
1 2 4 8 16
67
Agora dobre os valores da segunda linha:
1 2 4 8 16
67 134 268 536 1072
Some os valores da segunda linha correspondentes as parcelas que compõe 19:
(19 = 16 + 2 + 1;
16 => 1072; 2 => 134; 1 => 67)
1072 + 134 + 67 = 1273
Logo, 19 x 67 = 1273
O que assegura a eficácia do método? Simplesmente a distributividade e a decomposição de um dos fatores em potências de 2, que garante apenas multiplicações por 2, o que é simples.
Veja: 23 = 1 + 2 + 4 + 8 +16. Logo, 23 x 45 = (1 + 2 + 4 + 16) x 45 = 1 x 45 + 2 x 45 + 4 x 45 + 16 x 45 =
= 45 + 90 + 180 + 720 = 1035.
No outro exemplo, 19 = 16 + 2 + 1. Logo, 19 x 67 = (16 + 2 + 1) x 67 = 16 x 67 + 2 x 67 + 1 x 67 =
= 1072 + 134 + 67 = 1273
Multiplicação russa.
Este método de multiplicação também impressiona pela funcionalidade. Ele trabalha com pequenas sutilezas. Vamos também apresentá-lo via exemplos.24Vamos calcular, de novo, 23 x 45.
Monte uma tabela, cuja primeira coluna é composta de 23 e 45
23
45
Faça o seguinte: na linha de cima vá dividindo por 2, na debaixo vá multiplicando por 2. Pare quando obtiver 1 na linha de cima.
*Importante: se a divisão não for exata, tome a parte inteira do resultado.
23 11 5 2 1
45 90 180 360 720
Some os números da segunda linha correspondentes a números ímpares da primeira linha:
45 + 90 + 180 + 720 = 1035.
Assim, 23 x 45 = 1035.
Façamos 19 x 67: coloque 19 e 67 na primeira coluna e vá dividindo por 2 na primeira linha e multiplicando por 2 na segunda linha:
19 9 4 2 1
67 134 268 536 1072
Some os números da segunda linha que estão abaixo de ímpares na primeira:
67 + 134 + 1072 = 1273.
Desse modo, 19 x 67 = 1273.
Por que isto funciona? De novo, base binária!
Vejamos novamente o exemplo 23 x 45.
decompondo 23 em potências de 2, obtemos: 23 = 16 + 4 + 2 + 1 = 1x24 + 0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x20 = 10111, na base 2.
Assim: 23 x 45 = (1x24 + 0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x20 ) x 45
Nesta distributiva, a parcela que desaparecerá será a que corresponde a 0x2³, cujo 0 vem da 2 acima, que procede do algoritmo de transformação um número decimal em binário:
Monte uma tabela, cuja primeira coluna é composta de 23 e 45
23
45
Faça o seguinte: na linha de cima vá dividindo por 2, na debaixo vá multiplicando por 2. Pare quando obtiver 1 na linha de cima.
*Importante: se a divisão não for exata, tome a parte inteira do resultado.
23 11 5 2 1
45 90 180 360 720
Some os números da segunda linha correspondentes a números ímpares da primeira linha:
45 + 90 + 180 + 720 = 1035.
Assim, 23 x 45 = 1035.
Façamos 19 x 67: coloque 19 e 67 na primeira coluna e vá dividindo por 2 na primeira linha e multiplicando por 2 na segunda linha:
19 9 4 2 1
67 134 268 536 1072
Some os números da segunda linha que estão abaixo de ímpares na primeira:
67 + 134 + 1072 = 1273.
Desse modo, 19 x 67 = 1273.
Por que isto funciona? De novo, base binária!
Vejamos novamente o exemplo 23 x 45.
decompondo 23 em potências de 2, obtemos: 23 = 16 + 4 + 2 + 1 = 1x24 + 0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x20 = 10111, na base 2.
Assim: 23 x 45 = (1x24 + 0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x20 ) x 45
Nesta distributiva, a parcela que desaparecerá será a que corresponde a 0x2³, cujo 0 vem da 2 acima, que procede do algoritmo de transformação um número decimal em binário:
Repare no algoritmo que quem gera os 1 são os quocientes parciais ímpares, que correspondem aos ímpares da primeira linha da tabela e os 0 são os quocientes pares, que correspondem aos pares da primeira linha da tabela. Por isso, devemos tomar os números abaixo dos ímpares; os baixo dos pares geram zeros que anulam parcelas na distributiva.
Observemos o outro exemplo: 19 x 67.
19 = 16 + 2 + 1 = 10011, na base binária.
Observemos o outro exemplo: 19 x 67.
19 = 16 + 2 + 1 = 10011, na base binária.
Logo, 19 x 67 = (1 x2^4 + 0x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 1x2^0) x 67 = 67 + 134 + 1072.
Novamente, a base binária fica por trás de um cálculo muito interessante.
Novamente, a base binária fica por trás de um cálculo muito interessante.
Multiplicação chinesa.
A multiplicação chinesa usa o recurso gráfico para o cálculo.
Veja, por exemplo, 23 x 45.
Desenhe, em forma de losango, a figura abaixo:
Veja, por exemplo, 23 x 45.
Desenhe, em forma de losango, a figura abaixo:
Um número será representado por palito numa direção diagonal, ou outro no outro sentido diagonal, no sentido anti-horário: colocamos 2 palitos depois 3 palitos numa diagonal, após o 3 vêm 4 palitos e 5 palitos, na outra diagonal, representando o 45. Agora, contamos os pontos em cada região: da esquerda, do meio e da direita:
Agora, o processo vai da direita para esquerda: sempre deixamos a unidade e somamos a dezena de uma região com a unidade da outra e guardamos o resultado. Veja:
Logo, 23 x 45 = 1035.
Este método é bem atraente quando temos fatores não muito grandes. Mas tente fazer 4567x 12345. Apesar disso, impressiona pela critividade.
Este método é bem atraente quando temos fatores não muito grandes. Mas tente fazer 4567x 12345. Apesar disso, impressiona pela critividade.
A beleza por trás destes métodos.
Vimos que por trás destes métodos sempre está o conceito de base, principalmente a base binária.
Revelam a beleza da criatividade humana, a forma como cada povo desenvolve um assunto, uma forma de pensar que, por mais que pareça complicado demais ou desatualizado, sempre pode parecer aos olhos de alguém como um método melhor ou mais interessante ou mesmo de interesse histórico-didático.
Mas mais que isso, a justificativa destes métodos demonstra como alguns conceitos são há muitos e muitos anos ou séculos conhecidos e desenvolvidos pelo ser humano.
Revelam a beleza da criatividade humana, a forma como cada povo desenvolve um assunto, uma forma de pensar que, por mais que pareça complicado demais ou desatualizado, sempre pode parecer aos olhos de alguém como um método melhor ou mais interessante ou mesmo de interesse histórico-didático.
Mas mais que isso, a justificativa destes métodos demonstra como alguns conceitos são há muitos e muitos anos ou séculos conhecidos e desenvolvidos pelo ser humano.